TALES DE MILETO
(Mileto, actual Turquía, 624
acu-, 548 a.C.) Filósofo y matemático griego. Al repasar las ideas de los
filósofos anteriores en el primer libro de su Metafísica, Aristóteles se
convirtió involuntariamente en el primer historiador de la filosofía antigua;
en dicha obra, Aristóteles consideró a Tales como el primero en sugerir un
único sustrato formativo de la materia; además, en su intención de explicar la
naturaleza por medio de la simplificación de los fenómenos observables y la
búsqueda de causas en el mismo entorno natural, Tales fue uno de los primeros
en trascender el tradicional enfoque mitológico que había caracterizado la
filosofía griega de siglos anteriores.
La rica y próspera ciudad
griega de Mileto, en la costa de la actual Turquía, fue la cuna del pensamiento
occidental; en ella se desarrolló, a lo largo del siglo VI antes de Cristo, la
actividad de los filósofos milesios, es decir, originarios de Mileto: Tales,
Anaximandro y Anaxímenes. El paso del mito al logos, a la razón, define el
comienzo de los filosofía. Y los filósofos milesios fueron, en efecto, los
primeros en dejar de lado las explicaciones mitológicas y religiosas de los
fenómenos (los rayos son producto de la cólera de Zeus) y en dar respuestas
racionales a las cuestiones.
La que más ocupó a los
milesios fue la del arjé (origen o principio). La fisis, la naturaleza o
universo físico, es un conjunto de seres de muy diversa índole; ¿existe un
principio constitutivo único, una sustancia común a toda esta multiplicidad de
seres? Cada uno de los pensadores de la escuela milesia dio una respuesta
distinta: para Tales de Mileto el arjé es el agua; para Anaximandro, el
ápeiron, lo indefinido; para Anaxímenes, el aire. La cuestión seguiría siendo
tratada por otros destacados pensadores de la floreciente filosofía griega,
como Pitágoras, Jenófanes, Parménides, Anaxágoras o Heráclito, hasta
convertirse en uno de los temas filosóficos centrales de la Antigüedad.
La disparidad y lo que hoy
nos parece escasa fundamentación de las respuestas no puede socavar la
trascendencia de estas aportaciones en la medida en que suponen el inicio de
una actitud racional, es decir, filosófica. En este sentido, Tales fue el
primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que
para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Tales se planteó
la siguiente cuestión: si una sustancia puede transformarse en otra, como un
trozo de mineral azulado lo hace en cobre rojo, ¿cuál es la naturaleza de ambas
sustancias, del mineral y del cobre? ¿Cualquier sustancia puede transformarse
en otra de forma que finalmente todas las sustancias sean aspectos diversos de
una misma materia?
Tales consideraba que la
respuesta a esta última cuestión es afirmativa, y que siendo así podría
introducirse en el Universo un orden básico; quedaba determinar cuál era
entonces ese principio constitutivo (en griego, arjé o arché). Para Tales de
Mileto el arjé es el agua, pues es la materia que se encuentra en mayor
cantidad, rodea la Tierra y corre a través de los continentes. Todo nace del
agua, la cual es el elemento básico del que están hechas todas las cosas. El
agua impregna la atmósfera en forma de vapor, que es aire, nubes y éter; del
agua se forman los cuerpos sólidos al condensarse, y la vida no es posible sin
ella. La Tierra, para Tales, era un disco plano cubierto por la semiesfera
celeste flotando en un océano infinito.
Esta tesis sobre la
existencia de un elemento del cual estaban formadas todas las cosas cobró gran
aceptación entre filósofos posteriores, a pesar de que, como ya se ha indicado,
no aceptasen que el agua fuera tal elemento. Lo importante de su tesis es la
consideración de que todo ser proviene de un principio originario, sea el agua,
sea cualquier otro. Y el hecho de buscarlo de una forma racional, de extraerlo
de una serie de observaciones y deducciones, es lo que ha valido a Tales el
título de "padre de la filosofía".
De la vida de Tales de
Mileto nos han llegado datos y anécdotas dispersas de imposible verificación.
Al parecer, en su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los
sacerdotes de Menfis, y astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre
de astrosofía. Dirigió en Mileto una escuela de náutica, construyó un canal
para desviar las aguas del Halis y dio acertados consejos políticos. Fue
maestro de Pitágoras y Anaxímenes, y contemporáneo de Anaximandro.
EUCLIDES
- Matemático griego
Se desconoce su fecha de nacimiento y muerte aunque algunos datos apuntan al 330-275 a. C. También hay razones para sospechar de la no existencia de Euclides; no se conoce fidedignamente nada de él, además de diferencias notables de estilo en sus obras.
Se cree que cursó estudios
en Atenas con discípulos de Platón. Dio clases de geometría en Alejandría donde
fundó una escuela de matemáticas. Durante el reinado del faraón helenista
Tolomeo I (305-285 a. C.) quien, deseando modernizar los tratados de geometría
existentes, encomendó a Euclides escribir una compilación o refundición
completa. El resultado fue Los Elementos", en trece volúmenes, a los que
posteriormente se añadieron dos más, atribuidos a Hipsicles de Alejandría.
Los Cálculos, los Fenómenos,
la Óptica, la División del canon (estudio matemático de la música) y otros
libros se han atribuido a Euclides, aunque hoy se cree que alguna se le han
adjudicado erróneamente. Los historiadores cuestionan además algunas de sus
aportaciones. Probablemente las secciones geométricas de los Elementos fueron
en un principio una revisión de las obras de matemáticos anteriores, como
Eudoxo, aunque se considera que hizo algunos descubrimientos en la teoría de
números.
Los Elementos de Euclides se
utilizaron como texto durante 2.000 años. La primera edición impresa de sus
obras apareció en Venecia en 1482, una traducción del árabe al latín. Esta obra
es el coronamiento de las investigaciones realizadas por los geómetras de
Atenas. Euclides no hace sino volver a tratar con mayor perfección los ensayos
anteriores; hace una selección de las proposiciones fundamentales y las
coordina convenientemente desde el punto de vista lógico utilizando una forma
deductiva.
En los Elementos Las
definiciones que emplea son nominales, entre las que encontramos las
siguientes:
1 - Punto: "Cosa que no
tiene parte"
2 - Línea: "Es una cosa
que no tiene sino largo, es una longitud sin ancho"
3 - Los extremos de líneas
son puntos
4 - Superficie es lo que
tiene sólo largo y ancho
5 - Ángulo es la inclinación
de una línea respecto a otra
6 - Ángulo agudo es aquel
menor que el recto y ángulo obtuso, el mayor que el recto
Probablemente el primero en
hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos
antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo
que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando
la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor. Además, definió
los triángulos isósceles, rectángulos, etc. y dio definiciones de elementos que
(al igual que los antes mencionados) aún seguimos usando.
RENE DESCARTES
René Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye. Tras la muerte de su madre, él y sus dos hermanos fueron educados por su abuela, pues su padre se ausentaba cada año por largas temporadas.
La educación en La Flèche le
proporcionó, durante los cinco primeros años, una sólida introducción a la
cultura clásica. El resto de la enseñanza estaba allí muy basada en textos
filosóficos de Aristoteles, acompañados por comentarios de jesuitas.
A su regreso del colegio a
los 18 años, René Descartes ingresó en la Universidad de Poitiers para estudiar
derecho y posiblemente, algo de medicina. Para 1616 Descartes cuenta con los
grados de bachiller y licenciado.
En 1619, en Breda, conoció a
Isaac Beeckman, el contacto con éste estimuló en gran medida el interés de
Descartes por las matemáticas y la física. En esta época sus amigos propagan su
reputación, hasta el punto de que su casa se convirtió entonces en un punto de
reunión para quienes gustaban intercambiar ideas y discutir. El año siguiente,
con la intención de dedicarse por completo al estudio, se traslada
definitivamente a los Países Bajos, donde llevaría una vida modesta y
tranquila, aunque cambiando de residencia constantemente para mantener oculto
su paradero.
La preferencia de Descartes
por Holanda parece haber sido bastante acertada, pues mientras en Francia
muchas cosas podrían distraerlo y había escasa tolerancia, las ciudades
holandesas estaban en paz.
En septiembre de 1649 la
Reina Cristina de Suecia le llamó a Estocolmo. Allí murió de una neumonía el 11
de febrero de 1650.
La contribución más notable
que hizo Descartes a las matemáticas fue la sistematización de la geometría
analítica. Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme
al tipo de ecuaciones que las producen, y contribuyó también a la elaboración
de la teoría de las ecuaciones. Descartes fue el responsable de la utilización
de las últimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas y
las primeras letras para las conocidas. También inventó el método de los
exponentes (como en x2) para indicar las potencias de los números. Además,
formuló la regla, conocida como la ley cartesiana de los signos, para descifrar
el número de raíces negativas y positivas de cualquier ecuación algebraica.
Descartes dijo en ubicar todos los elementos que existían. El primer elemento
geométrico en el punto (.).
KARL FRIEDRICH GAUSS
(Brunswick, actual Alemania,
1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el
seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio
muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a
los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad
de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser
recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.
El duque le proporcionó
asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó
en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó
sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación
algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas),
que Gauss demostró.
En 1801 Gauss publicó una
obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática
del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números,
las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar:
la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución
algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados
puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de
Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y
numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería
a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría
completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y)
que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números
algebraicos.
Su fama como matemático creció
considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el
comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos
meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados,
desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de
modernas herramientas de estimación astronómica.
En 1807 aceptó el puesto de
profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que
permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había
contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde
se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró
sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una
geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de
las paralelas; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de
treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.
Alrededor de 1820, ocupado
en la correcta determinación matemática de la forma y el tamaño del globo
terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de los
datos observacionales, entre las cuales destaca la curva de distribución de
errores que lleva su nombre, conocida también con el apelativo de distribución
normal y que constituye uno de los pilares de la estadística.
Otros resultados asociados a
su interés por la geodesia son la invención del heliotropo, y, en el campo de
la matemática pura, sus ideas sobre el estudio de las características de las
superficies curvas que, explicitadas en su obra Disquisitiones generales circa
superficies curvas (1828), sentaron las bases de la moderna geometría
diferencial. También mereció su atención el fenómeno del magnetismo, que
culminó con la instalación del primer telégrafo eléctrico (1833). Íntimamente
relacionados con sus investigaciones sobre dicha materia fueron los principios
de la teoría matemática del potencial, que publicó en 1840.
Otras áreas de la física que
Gauss estudió fueron la mecánica, la acústica, la capilaridad y, muy
especialmente, la óptica, disciplina sobre la que publicó el tratado
Investigaciones dióptricas (1841), en las cuales demostró que un sistema de
lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las características
adecuadas. Fue tal vez la última aportación fundamental de Karl Friedrich
Gauss, un científico cuya profundidad de análisis, amplitud de intereses y
rigor de tratamiento le merecieron en vida el apelativo de «príncipe de los
matemáticos».
LEONHARD EULER
(Basilea, Suiza, 1707 - San
Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Las facultades que desde temprana edad
demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los
Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor
de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en
1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para
convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde
coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733
relevó en la cátedra de matemáticas.
A causa de su extrema
dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho,
hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741,
año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de
Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a
resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de
demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió
en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello
configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a
las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la
teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la
teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso
la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).
En 1748 publicó la obra
Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso el concepto de función en
el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma
decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la
teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos
básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un
triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al
adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la
denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar
cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos.
En el terreno del álgebra
obtuvo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación
cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su
nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones
introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente a la
moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores de
un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó
de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la
reciprocidad cuadrática, enunciada en 1783.
A raíz de ciertas tensiones
con su patrón Federico el Grande, regresó nuevamente a Rusia en 1766, donde al
poco de llegar perdió la visión del otro ojo. A pesar de ello, su memoria
privilegiada y su prodigiosa capacidad para el tratamiento computacional de los
problemas le permitieron continuar su actividad científica; así, entre 1768 y
1772 escribió sus Lettres à une princesse d'Allemagne, en las que expuso
concisa y claramente los principios básicos de la mecánica, la óptica, la
acústica y la astrofísica de su tiempo.
De sus trabajos sobre
mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, la formulación
de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la presión de una
corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo de una
solución parcial al problema de los tres cuerpos -resultado de su interés por
perfeccionar la teoría del movimiento lunar-, así como la determinación precisa
del centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro
de la masa solar. Tras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar
la totalidad de su obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados,
lo cual lo convierte en el matemático más prolífico de la historia.
BERNHARD RIEMANN
(Georg Friedrich Bernhard
Riemann; Breselenz, actual Alemania, 1826 - Selasca, Italia, 1866) Matemático
alemán. Su padre era pastor luterano, y su primera ambición fue la de seguir
sus pasos. Ingresó en el liceo de Hannover, donde estudió hebreo y trató de
probar la certeza del libro del Génesis por medio de razonamientos matemáticos.
En 1846 ingresó en la Universidad de Gotinga, que abandonó un año después para
trasladarse a la de Berlín y estudiar bajo la tutela de, entre otros, Jakob
Steiner, Carl Gustav Jacobi y Peter Gustav Lejeune Dirichlet, que ejerció una
gran influencia sobre él.
Su carrera se interrumpió
por la revolución de 1848, durante la cual sirvió al rey de Prusia. En 1851 se
doctoró en Gotinga con una tesis que fue muy elogiada por Carl Friedrich Gauss.
En ella Riemann estudió la teoría de las variables complejas y, en particular,
lo que hoy se denominan superficies de Riemann, e introdujo en la misma los
métodos topológicos.
Las obras de Bernhard
Riemann, pese a su número reducido, tienen todas un valor fundamental. En su
corta vida contribuyó a muchísimas ramas de las matemáticas: integrales de
Riemann, aproximación de Riemann, método de Riemann para series
trigonométricas, matrices de Riemann de la teoría de funciones abelianas,
funciones zeta de Riemann, hipótesis de Riemann, teorema de Riemann-Roch, lema
de Riemann-Lebesgue, integrales de Riemann-Liouville de orden fraccional...
Pese a la importancia de
todas estas contribuciones, la más conocida aportación de Bernhard Riemann fue
su geometría no euclidiana, basada en una axiomática distinta de la propuesta
por Euclides, y expuesta detalladamente en su célebre memoria Sobre las
hipótesis que sirven de fundamento a la geometría (1867). Esta geometría se
sigue si se considera la superficie de una esfera y se restringen las figuras a
esa superficie. Medio siglo más tarde, Albert Einstein demostró, en virtud de
su modelo de espacio-tiempo relativista, que la geometría de Riemann ofrece una
representación más exacta del universo que la de Euclides.
El exceso de trabajo minó su
frágil organismo, y en sus últimos años pasó largas temporadas en Italia, donde
buscaba la curación de una grave afección pulmonar. Murió de tuberculosis antes
de cumplir los cuarenta años.
DAVID HILBERT
(Wehlan, actual Alemania,
1862 - Gotinga, id., 1943) Matemático alemán. Su padre era juez, y fue
destinado al poco de su nacimiento a Königsberg, donde David recibió su
educación y en cuya universidad inició los estudios de matemáticas. Estudió
también en las universidades de Heidelberg y de Berlín, asistiendo en esta
última a los cursos de Weierstrass, Kummer, Helmholtz y Kronecker.
A finales de 1884 se doctoró
en Königsberg, poco antes de que hiciera lo propio su amigo Hermann Minkowski.
La tesis de Hilbert trataba de los invariantes algebraicos, un tema que le
propuso su joven profesor F. Lindemann, quien dos años antes había demostrado
que «pi» es un número trascendente.
Viajó después a Leipzig,
donde asistió a las clases de Felix Klein, y a París, donde conoció a Henri
Poincaré, Camille Jordan y Charles Hermite. De regreso a Königsberg, en 1886
inició allí su carrera académica como privatdozent; siete años más tarde, cuando
Lindemann marchó a Berlín, Hilbert accedió al cargo de profesor ordinario por
recomendación de Klein, por entonces profesor en Gotinga; a esta universidad se
incorporó también Hilbert en 1895, de nuevo por intervención de Klein, y en
ella desarrolló el resto de su carrera profesional.
En Gotinga centró su
atención en la geometría, tratando de plasmar en ese nuevo interés una idea que
alimentaba desde mucho antes: lo importante no es la naturaleza de los objetos
geométricos, sino la de sus interrelaciones. En su obra de 1899, dedicada a
proporcionar a la geometría euclidiana una fundamentación estrictamente
axiomática y que ha ejercido una gran influencia sobre el desarrollo de la
matemática en el siglo XX, realizó el primer esfuerzo sistemático y global para
hacer extensivo a la geometría el carácter puramente formal que ya habían
adquirido la aritmética y el análisis matemático.
En el Congreso Internacional
de Matemáticos celebrado en París en 1900, Hilbert presentó una lista de
veintitrés problemas que a la sazón no habían sido resueltos todavía; a su
juicio, las probables líneas de desarrollo que iba a seguir la matemática del
siglo XX habrían de estar en buena medida vinculadas a la resolución de dichas
cuestiones. Sus trabajos posteriores desembocaron en la concepción de los
espacios de infinitas dimensiones llamados espacios de Hilbert, base del
moderno análisis funcional.
A partir del año 1904,
empezó a desarrollar un programa para dotar de una base axiomática a la lógica,
la aritmética y la teoría de conjuntos, con el objetivo último de axiomatizar
toda la matemática. Aunque su propósito de demostrar la consistencia de la
aritmética había de verse frustrado por los resultados posteriores (1931)
obtenidos por Kurt Gödel, el programa de formalización de Hilbert contribuyó al
desarrollo de la llamada metamatemática, como método para establecer la
consistencia de cualquier sistema formal.
Una sopa de letras con grandes matemáticos de la historia
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EUCLIDES CAUCHY
LEONHARD EULER ABEL
GALOIS CANTOR
GAUUS POINCAIRE
PITAGORAS RIEMANN
ARQUIMIDES NEWTON
CARDANO PASCAL
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